Tres ideas del cálculo, el límite, la derivada y la integral, para entenderlas primero mirando, moviendo y prediciendo, y recién después con fórmulas. El orden sugerido es Límites, Derivadas e Integrales.
Acerca x a un punto, por la izquierda y por la derecha, sin llegar nunca a él. Observa hacia dónde van los valores de f(x) y qué pasa justo en el punto.
| Distancia al punto | f(x) por la izquierda | f(x) por la derecha |
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Cuatro gráficos que se parecen mucho, pero se comportan distinto en x = 2. Mueve x cerca de 2 por los dos lados y fíjate en los puntos vacíos y llenos.
Elige una curva y un punto P. Aumenta el zoom y observa qué le pasa a la forma de la curva. Luego acerca un segundo punto Q hacia P, por la derecha y por la izquierda: las pendientes de las secantes se acercan a un número. Igual que en la unidad de Límites, ese número es un límite.
| Distancia de Q a P | Δy / Δx por la izquierda | Δy / Δx por la derecha |
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Los recipientes se llenan con un caudal constante. Antes de llenar, dibuja con el dedo o el mouse cómo crees que sube la altura h a medida que pasa el tiempo t.
No hace falta ninguna fórmula. Dibuja en el gráfico de abajo cómo es la inclinación de la curva de arriba.
Mirando solo la curva de f se obtiene casi todo:
Toca o arrastra sobre la curva de f para ubicar la tangente. Luego presiona “Marcar en f′”: la pendiente medida se convierte en la altura de un punto abajo.
Curva de f
Tu dibujo de f′ (dibuja aquí).
Módulo opcional. Cerca de un punto, la curva casi no se separa de su recta tangente. Compara el cambio real sobre la curva (Δy) con el cambio sobre la tangente (dy) y úsalo para aproximar valores sin calculadora.
| dx = Δx | Δy (curva) | dy (tangente) | Error |
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El gráfico muestra la velocidad de un ciclista durante 10 segundos: parte lento y va acelerando. Con rectángulos puedes calcular cuánto avanzó. Antes, haz tu propia estimación.
| Rectángulos | Por la izquierda (bajo) | Por la derecha (sobre) | Punto medio | Trapecios |
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Un estanque parte con 2 litros. A diferencia de los recipientes, aquí el caudal cambia: al comienzo la llave está abierta al máximo (entran 3 L/min) y alguien la va cerrando poco a poco. En el minuto 5 queda cerrada, y desde ahí se abre el desagüe cada vez más. El gráfico del caudal muestra cuántos litros por minuto entran (positivo) o salen (negativo). ¿Cuánta agua habrá en cada momento?
Antes de llenar: ¿cuál de estos gráficos crees que muestra cuánta agua hay en el estanque? Toca uno.
Caudal (L/min): el área sombreada es lo acumulado hasta ahora
Agua en el estanque (L)
Módulo opcional. Con un solo rectángulo, ¿a qué altura tendrías que ponerlo para que su área sea exactamente la distancia real? Mueve la altura hasta que lo que sobra sobre la curva compense lo que falta bajo ella.
Al final de cada módulo aparece un cierre con la institucionalización, que se desbloquea cuando el estudiante responde bien todas las preguntas del módulo. Tú los ves siempre, marcados como “vista docente”.
El módulo 1 separa el valor en el punto del valor al que se acercan los valores, con dos funciones que dan 0/0: una simplificable y otra que solo se resuelve numéricamente, sen(x)/x. El módulo 2 trabaja la conversión gráfico → lenguaje con cuatro casos que solo difieren en x = 2 (continua, hoyo, punto desplazado y salto), e introduce la continuidad en el cierre.
El módulo 1 parte de una estimación (fase de acción) y construye la integral como límite de sumas de Riemann. La función es creciente para que las sumas por la izquierda y por la derecha se acerquen a 40 desde lados opuestos, lo que desarma la idea de que más rectángulos siempre dan más. Como la función es creciente, izquierda y derecha coinciden con las sumas inferior y superior, lo que permite el argumento de encajonamiento; el punto medio muestra que lo esencial es el adelgazamiento de los rectángulos y no dónde se mide la altura. La opción de trapecios (regla del trapecio) agrega a cada rectángulo el triangulito que falta, cuya altura es la diferencia entre dos alturas contiguas; es el promedio de las sumas izquierda y derecha. El módulo 2, el estanque, es el inverso de los recipientes de Derivadas: se conoce la rapidez (el caudal) y se busca lo acumulado (el agua). Parte con una predicción entre tres gráficos (uno copia la forma del caudal y otro deja el agua constante cuando sale), y la simulación muestra en paralelo el área sombreada y la curva del agua. La recta tangente con su inclinación junto al caudal permite descubrir que coinciden, que es la idea del teorema fundamental
La altura justa (opcional): anticipa el teorema del valor medio para integrales. Con tres ciclistas (acelera, acelera de forma pareja y frena), el instante de la velocidad media queda después, justo en o antes de la mitad del tiempo, lo que muestra por qué el punto medio funciona bien en rectángulos angostos. No es requisito para descargar la unidad.
Linealidad local (Tall): la derivada en el punto se presenta como la pendiente de la recta que la curva “se vuelve” al acercarse. El indicador de curvatura visible permite argumentar con evidencia que la curva se endereza. La tabla conecta el registro gráfico con el numérico sin manipular el cociente incremental algebraicamente. Las rectas secantes que se acercan a la tangente ofrecen una segunda vía hacia el mismo número, y preparan la idea intuitiva de límite.
Situación a-didáctica (Brousseau). La institucionalización llega al final: la “rapidez con que cambia la altura en cada instante” es la tasa de variación instantánea, la derivada dh/dt. Aquí dh/dt = caudal / área de la superficie del agua, lo que explica por qué el cuello angosto acelera el llenado.
Conversión gráfico → gráfico (Duval) sin pasar por el tratamiento algebraico. La verificación evalúa el signo de f′ en cada tramo, que es lo central en esta etapa; la forma exacta se discute al mostrar la solución. La herramienta de tangente traslada la inclinación medida en f a una altura en f′, y el registro indica cuántas marcas usó cada estudiante. Con esto, reglas como nxn−1 llegan después como un atajo para algo ya comprendido.
Compara dy (sobre la tangente) con Δy (sobre la curva) y muestra que el error se achica como dx²: es la linealidad local del módulo 1 vista como aproximación. No es requisito para descargar la unidad; su avance aparece en una columna aparte del panel.
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